Read e-book online Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung: Mit PDF

Read or Download Die Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung: Mit Anwendungen auf Algebraische Zahlen und Gleichungen Sowie auf die Krystallographie PDF

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M,_ 1j91,, E eine Hauptreihe für @j91,. Daher ist m,_1j91, ein kleinster Normalteiler von ®/91, und hat also die verlangte Beschaffenheit. Aus einer Hauptreihe kann leicht eine Kompositionsreihe gebildet werden, indem man gewisse Gruppen einschaltet. Ist 91,_1/91, eine einfache Gruppe, so ist das offenbar nicht möglich, ist dagegen diese Faktorgruppe das direkte Produkt von n holoedrisch isomorphen Gruppen vom Typus~. so kann man zwischen 911_ 1 und m, genau n-1 Gruppen ~ 11 ~ 2 , ••• , ~.. - 1 hineinfügen und es wird m,-1/~1 = ~1/~2 = ...

Sei X eine Drehung, welche irgendeine andere Ecke des Ikosaeders an ihre Stelle bringt; führt man dann die Drehung A aus und bringt die Ecke durch X-1 wieder an ihren alten Platz, so ist das Resultat X A X-1 eine Drehung von 25n um diese Ecke. Hiermit ist nachgewiesen, daß 12 Operationen von der Ordnung 5 in eine Klasse gehören. Mit A gehört auch A-1 dazu, als Drehung um die gegenüberliegende Ecke. In gleicher Weise bilden die übrigen Elemente der Ordnung 5, nämlich die Drehungen um die Winkel 4; , 65n, eine Klasse.

Ist eine Gruppe, die aus mehr als einem Element besteht, mit einer einfachen Gruppe isomorph, so ist der Isomorphismus ein holoedrischer. So ist z. B. die Permutationsgruppe der 5 Oktaeder, welche einem Ikosaeder einbeschrieben sind, bei den 60 Ikosaederdrehungen selber von der Ordnung 60. Mit Hilfe der bisherigen Entwicklungen ist es möglich, einen vollständigen Einblick in die Oktaedergruppe, auf welcher die Theorie der Gleichungen 4. Grades beruht, zu bekommen. Sie bildet ein außerordentlich lehrreiches Beispiel für die vorangehenden Sätze.

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