By Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra
ISBN-10: 884702594X
ISBN-13: 9788847025943
Il presente quantity intende fornire un’introduzione alla probabilità e alle sue applicazioni, senza fare ricorso alla teoria della misura, consistent with studenti dei corsi di laurea scientifici (in particolar modo di matematica, fisica e ingegneria).
Viene dedicato ampio spazio alla probabilità discreta, vale a dire su spazi finiti o numerabili. In questo contesto sono sufficienti pochi strumenti analitici in line with presentare l. a. teoria in modo completo e rigoroso. L'esposizione è arricchita dall'analisi dettagliata di diversi modelli, di facile formulazione e allo stesso pace di grande rilevanza teorica e applicativa, alcuni tuttora oggetto di ricerca.
Vengono poi trattate le variabili aleatorie assolutamente proceed, reali e multivariate, e i teoremi limite classici della probabilità, ossia l. a. Legge dei Grandi Numeri e il Teorema Limite Centrale, dando rilievo tanto agli aspetti concettuali quanto a quelli applicativi. Tra le varie applicazioni presentate, un capitolo è dedicato alla stima dei parametri in Statistica Matematica.
Numerosi esempi sono parte integrante dell'esposizione. Ogni capitolo contiene una ricca selezione di esercizi, in step with i quali viene fornita l. a. soluzione sul sito Springer dedicato al volume.
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An−1 ) > 0 anche P(A1 ∩ A2 ∩ . . 35) sono ben definite. La dimostrazione procede per induzione. 35) è verificata per n = 2. 35). 2 Bayes e dintorni In molte situazioni, la nozione di probabilità condizionale è utile nella costruzione stessa di un modello probabilistico: talvolta è “naturale” assegnare il valore di alcune probabilità condizionali, e da esse dedurre il valore di probabilità non condizionali. 46. Due urne, che indichiamo con α e β , contengono rispettivamente 3 palline rosse e 1 verde (l’urna α ) e 1 pallina rossa e 1 verde (l’urna β ).
Una prima osservazione, elementare ma molto utile, è che se un insieme A è in corrispondenza biunivoca con un insieme B, allora |A| = |B|. Un’altra osservazione, anch’essa molto intuitiva, è la seguente: se A, B sono due sottoinsiemi (di uno stesso spazio) disgiunti, cioè tali che A ∩ B = 0, / allora |A ∪ B| = |A| + |B|. Più in generale, se A1 , . . , Ak sono sottoinsiemi disgiunti, tali cioè che Ai ∩ A j = 0/ per i = j, allora | ki=1 Ai | = ∑ki=1 |Ai |. La dimostrazione di queste osservazioni è semplice ed è lasciata per esercizio.
Posto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, prendiamo come spazio campionario Ω := X × X × X = {(x, y, z) : x, y, z ∈ N , 1 ≤ x, y, z ≤ 6} , munito della probabilità P uniforme. Si noti che A = {(x, y, z) ∈ Ω : x = y} , B = {(x, y, z) ∈ Ω : y = z} . Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio, gli elementi di A sono determinati dalla scelta delle componenti x e z, per cui |A| = 6 · 6 = 36 e, analogamente, |B| = 36. Allo stesso modo, A ∩ B = {(x, y, z) ∈ Ω : x = y = z} e dunque |A ∩ B| = 6. Dato che |Ω | = |X|3 = 63 = 216, segue che P(A) = P(B) = 1 36 = , 216 6 P(A ∩ B) = |A ∩ B| 6 1 = = = P(A) P(B) , |Ω | 216 36 come richiesto.
Probabilità: Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni by Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra
by Paul
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