By Wolfgang Kühnel
ISBN-10: 3322939812
ISBN-13: 9783322939814
ISBN-10: 352807289X
ISBN-13: 9783528072896
Buchhandelstext
Dieses Buch ist eine Einf?hrung in die Differentialgeometrie und wendet sich insbesondere an Studenten mittlerer Semester, nach einem abgeschlossenen Vorlesungs-Zyklus in research und Linearer Algebra (etwa im Umfang der Grundkurs-B?nde von O. Forster zur research und von G. Fischer zur Linearen Algebra). Zun?chst geht es - das umfa?t etwa die H?lfte des Buches - um die klassischen Aspekte wie die Geometrie von Kurven und Fl?chen, bevor dann in der zweiten H?lfte h?herdimensionale Fl?chen sowie abstrakte Mannigfaltigkeiten betrachtet werden. Die Nahtstelle ist dabei das zentrale Kapitel four: "Die innere Geometrie von Fl?chen". Dieses f?hrt den Leser bis hin zu dem ber?hmten Satz von Gau?-Bonnet, der ein entscheidendes Bindeglied zwischen lokaler und globaler Geometrie darstellt. Die zweite H?lfte des Buches ist der Riemannschen Geometrie gewidmet. Den Abschlu? bildet ein Kapitel ?ber "Einstein-R?ume", die eine gro?e Bedeutung sowohl in der "Reinen Mathematik" sowie in der allgemeinen Relativit?tstheorie von A. Einstein haben. Es wird gro?er Wert auf Anschaulichkeit gelegt, used to be auch durch zahlreiche Abbildungen unterst?tzt wird.
Inhalt
Bezeichnungen sowie Hilfsmittel aus der research - Kurven im R^n - Lokale Fl?chentheorie - Die innere Geometrie von Fl?chen - Riemannsche Mannigfaltigkeiten - Der Kr?mmungstensor - R?ume konstanter Kr?mmung - Einstein-R?ume
Zielgruppe
Studierende der Mathematik und Physik ab dem four. Semester, Studieng?nge Diplom und Lehramt
?ber den Autor/Hrsg
Wolfgang K?hnel ist Professor am Mathematischen Institut B der Universit?t Stuttgart.
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Additional resources for Differentialgeometrie: Kurven — Flächen — Mannigfaltigkeiten
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32. FABRICIUS-BJERRE3 ) Für jede generische und geschlossene ebene Kurve gilt die Gleichung N+ = N- 1 + D + '2 W. Dabei bedeutet "generisch", daß die Kurve nur einfache Doppelpunkte hat (keine dreifachen oder höheren), daß in solchen Doppelpunkten die beiden Tangenten linear unabhängig sind und daß in allen Punkten mit 11: = 0 jedenfalls ",' =F 0 gilt. 30n the double tangents of plane convex curves, Math. Scand. 11, 113-116 (1962) 2 Kurven im IRn 32 Übungsaufgaben 1. Die Krümmung und die Torsion einer Frenet-Kurve c(t) im IR3 sind in beliebiger Parametrisierung gegeben durch die Formeln I\:(t) = Ile xcii lIell 3 und T(t) Det(e,c,"c) lIe x cll 2 • = 2.
U f = T J (u)IR3). Ein tangentiales Vektorfeld kann man stets eindeutig schreiben (mit u 8f X(u) = a(u)-8 = (Ul,U2) als I + ß(u)-8 8f I ' Ul u U2 u ein normales Vektorfeld als 8f X(u) = ')'(u) . -8 Ul I 'U I 8f . x -8 U2 'U X heißt stetig bzw. differenzierbar, wenn a, ß, ')' stetig bzw. differenzierbar sind. BEISPIELE: 1. Auf dem Zylinder f( X -8 U2 'U X heißt stetig bzw. differenzierbar, wenn a, ß, ')' stetig bzw. differenzierbar sind. BEISPIELE: 1. Auf dem Zylinder f(Differentialgeometrie: Kurven — Flächen — Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Kühnel
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4.5