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Iii) Ist T diagonalisierbar und u(T) = {Al, ... , Ar} die Menge der paarweis verschiedenen Eigenwerte von T, so ist mT(x) = (x - Al) ..... (x - Ar). Denn da es eine Basis für V aus Eigenvektoren von T gibt, ist p(x) = (x - Al) ..... (x - Ar) = (x - Al)· ... · (x - Ak-d(x - Ak+l)· ... · (x - Ar)(x - Ak) ein annullierendes Polynom: Für jeden Eigenvektor v zum Eigenwert Ak ist § 3 Allgemeine lineare Theorie 60 Also wird P von mT geteilt. B. B. q(x) (x - A2) ..... (x - Ar) und v ein Eigenvektor zum Eigenwert Al.

Tr zerlegt. BEISPIEL: Drehungen im ]R3. Ist VI = Span{u} die Drehachse und V2 der zu u orthogonale Teilraum, so gilt V = VI EB V2 , und Tl ist die Identität auf VI, während T 2 eine ebene Drehung ist. 5 Der Zerlegungssatz (a) Ist pein annulherendes Polynom für T P = PI····· pr (r ~ V -t V und 2) eine Zerlegung m nichtkonstante teilerfremde Polynome Pk, so gibt es eine korrespondzerende Darstellung V = Kern PI (T) EB ... EB Kern Pr(T) in T-znvanante Teilräume Vk = Kernpk(T). (b) Ist P das Mimmalpolynom von T, so sind alle Vk echte Tezlräume: Vk i={O}, Vk i=- V.

Damit liegen beide Lösungsgraphen in K für Ix - xol mit e = eo = Xo, 7J = 7Jo = Yo und g = f (also cl = cO x J L . g(t) dt g(x) :::; für xo:::; x < 8. h. u(x) = v(x) nach dem Gronwallschen Lemma. Dies steht im Widerspruch zur Wahl von xo. h. Rn. Dwse ~st gleichmäßiger Limes e2ner Folge (Uk), gegeben durch d~e Iterationsvorschrift Uo(x) = Uk+l(X) 7J, = 7J + x J f(t, Uk(t)) dt ~ für k = 0,1, .... 5 Existenz von Lösungen 33 BEWEIS. (a) Wahl von 8. Wir bestimmen zunächst r > 0, R> 0 so, daß der Zylinder z = {(x,y) I Ix - el ~ r, IIY - 1111 ~ R} ganz in n liegt.

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