By Dariush Ghorbanzadeh, Pierre Marry, Nelly Point, Denise Vial
ISBN-10: 2100519360
ISBN-13: 9782100519361
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N } on a pp f (x) = +∞ cn ϕn (x) avec cn = n=0 f,ϕn ϕn ,ϕn et T f,g = f (x)g(x) dx 0 • Soit f une fonction périodique de période T, on note S f sa série de Fourier. } T T T T 2πx 2πx S f (x) = a0 + a1 cos( ) + b1 sin( ) + ... T T n2πx n2πx + an cos( ) + bn sin( ) + ... T T © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1) n∈N ∗ 0 α+T f (x) dx. α Si f est paire, les bn sont nuls, S f est une série de cosinus. Si f est impaire, les an sont nuls, S f est une série de sinus. – Dans la base orthogonale exp(inωx), avec n ∈ Z 1 T cn exp(inωx) et cn = S f (x) = n∈Z c0 = a0 , et pour n ∈ N ∗ cn = T f (x)exp(− 0 an − ibn , 2 c−n = in2πx ) dx.
2 – 1,5 –1 – 0,5 0 0,5 1 192t 5 − 320t 3 + 180t = 15π Parmi tous les polynômes P quelconques de degré р 5, c’est f5 qui rend minimum la quantité ∫ 1 −1 ( f (t ) − P(t ))2 1− t2 dt . 4 Soit E = {f / f et f ′ ∈ L2(– 1,1), à valeurs dans C} et ϕ ( f , g) = 1 1 ∫−1 f (t )g(t ) dt + ∫−1 f ′(t )g′(t ) dt . 40 Mathématiques du signal 1) Montrer que ϕ définit un produit scalaire sur E. On le notera : f , g E . 2) Soit fk(t) = eiπkt. Calculer ||fk||E et fk , f p L2 ( −1,1) fk , f p E / k ; comparer à ||fk||2 et pour p = .
D 2) A-t-on : lim fn′(t ) = [ lim fn (t )] ? 10 On suppose que les suites {fn} et {gn} convergent dans L2(I) vers f et g respectivement, pour tout intervalle I. 7 1) Domaine de définition : I = ]– ∞, – 1[ ∪ ]1,+∞[. f étant impaire et f 2 paire, on raisonne 1 sur ]1,+∞[. Au voisinage de 1, f (t )ϳ et à l’infini, f (t )ϳ 12 d’où f ∈ L1(I) mais 2 t −1 t f ∉ L2(I). 28 Mathématiques du signal 2) Domaine de définition : ]1, ∞[. À l’infini, pose t = 1 + x, ∫ 1+ε 1 1 ln1 − dt ϳ t ε f (t ) ϳ 1 non sommable et, en 1, si l’on t x ∫ ln 2 dx qui converge.
Mathématiques du signal - Rappels de cours et exercices résolus, 3ème édition by Dariush Ghorbanzadeh, Pierre Marry, Nelly Point, Denise Vial
by Jeff
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